时间
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内容
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主讲人
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12月3日 9:00-12:00
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一、本课程是李尚志教授主持建设的国家精品课程《线性代数(非数学专业)》(2006年批准),课程建设的主要指导思想和经验是李尚志教授主持的国家级教学成果奖获奖项目“数学建模思想融入基础课建设”(2009年获奖)的重要组成部分。 二、主讲教师关于教学改革的基本理念和方法的思考 1、线性代数之易: 研究内容:方程与函数是数学的中心主题,线性代数研究最简单的方程与函数---一次方程与一次函数,按道理是天下最简单的数学。 与微积分比较:内容少,算法少=1.5个。 两个算法:初等变换,矩阵乘法。 通过初等矩阵相互转化-1.5个算法。 2、线性代数的任务:利用1.5个算法解决千千万万个问题:解方程组,研究方程组解集的构造和“大小”,有惟一解和无穷多解的条件,判定线性相关与线性无关,研究线性变换的性质(特征向量,对角化等)。 3、线性代数之难:抽象。 抽象=许多不同事物的共同点=难得糊涂=放之四海而皆准=无招胜有招 抽象不是错,反而是威力和魅力。学生怕抽象,不是学生的错,是教学的错。 工科教师、工程人员、研究生学了线性代数不会算平面旋转、空间旋转轴,解线性方程组还只会用中学的代入法,这是线性代数教学的耻辱。 三、主讲教师对本门课程的理解及教学设计 1、克服难点全攻略:通过有招学无招。积累和使用切合实际、贴近生活的精彩案例。 2、代数几何熔一炉: 几何PK代数:几何好看不好算,代数好算不好看。 空间为体,矩阵为用: 几何问题-矩阵语言描述-矩阵运算解决-几何解。 方程组-几何描述-代数语言描述-矩阵运算解决 空间解析几何=3维线性代数,线性代数= n维解析几何。 四.精彩案例: 1.解线性方程组:加减消去法-线性组合-初等变换-高斯消去法-矩阵消元法-解集讨论。
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主讲教师 李尚志教授
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12月3日 2:30-5:00
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四、精彩案例(续一) 2、线性方程组的惟一解条件:线性方程组的几何解释(向量版本):将向量b表示为a1,…,an的线性组合。n=2,3时惟一解条件:ai 组成平面或空间的基。通过代数算法推广到n维空间n数组空间的向量,线性相关与线性无关,基与坐标,坐标变换等,都围绕方程组惟一解条件展开。 3、线性方程组的解集构造:秩,子空间。 4、行列式:通过面积与体积(二阶与三阶行列式)判定基-n维体积=n阶行列式。二阶与三阶行列式几何定义-代数性质-代数算法-推广到n阶。以行列式的性质为核心,尤其是初等变换为核心,淡化定义,强化性质与应用。应用例:判定基,得出求解公式(Crammer法则)。
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主讲教师 李尚志教授
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12月4日 9:00-12:00
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四、精彩案例(续二) 5、矩阵乘法:由线性组合引入。突出:(1)分块运算; (2) 应用:线性变换。 以分块运算的方式引入矩阵乘法,以分块运算的方式解释矩阵的性质和运算律。 矩阵乘法引起线性变换 XAX。淡化一般线性变换讨论,突出具体例子:平面与空间中的旋转与对称,拉伸与压缩。 6、内积的推广:用几何方法解代数问题,无解线性方程组的最佳近似解---最小二乘法。 7、二次型:极值问题,二次曲线与二次曲面方程化为标准型。 8、矩阵相似,特征值与特征向量:旋转与对称、拉伸与压缩变换:方阵的幂函数与指数函数(常系数线性微分方程组的矩阵解法)。
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主讲教师 李尚志教授
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12月4日 2:30-5:00
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讨论题: 1)–你在线性代数课程教学中遇到的困难和困惑。 2)–通过本次培训解决了哪些困惑,主要收获。 3)–还有哪些问题没有解决,你对解决这些问题的建议和希望。 4)–在线性代数教学中使用现代化教学手段的经验。
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主讲教师 李尚志教授 全体学员
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